2つの楕円領域のどちらか一方のみの面積を求める積分問題の解法｜数学IIIの応用問題解説

座標平面における2つの不等式で表される領域について、「どちらか一方にのみ含まれる部分の面積」を求める問題は、集合と積分の融合的な典型問題です。本記事では、領域の重なりを正しく処理しながら面積を求める方法を解説します。

問題の図形的な意味を整理する

不等式 x² + 3y² ≦ 4 は楕円Aを表し、3x² + y² ≦ 4 は楕円Bを表します。

これらは原点中心の楕円であり、向きは同じですが、軸方向の伸び方が異なります。

「どちらか一方のみ」という条件は、AまたはBに含まれるが両方には含まれない領域を意味します。

この問題は集合で考えると「A ∪ B から A ∩ B を除いた領域」、すなわち対称差に相当します。

したがって面積は |A| + |B| − 2|A ∩ B| で求めることができます。

重なり部分を2回引く点が重要なポイントです。

楕円 x² + 3y² ≦ 4 は変形すると x²/4 + y²/(4/3) ≦ 1 となります。

したがって半径は a=2, b=2/√3 なので面積は πab = 4π/√3 です。

同様に 3x² + y² ≦ 4 は面積 4π/√3 となり、両者は対称です。

2つの楕円の交点領域は解析的には複雑ですが、対称性を利用して積分で求めます。

ただしこの種の問題では、変数変換や極座標変換を用いて処理するのが一般的です。

重なりの評価が全体解法の核心になります。

2つの式はxとyを入れ替えると対応するため、領域の構造は対称です。

そのため重なり部分は全体の一部として幾何学的に扱うことが可能です。

この対称性により計算量を大きく減らすことができます。

求める面積は「2つの楕円の合計面積から重なりの2倍を引く」という構造になります。

これは集合論の対称差の定義そのものに一致します。

したがって積分計算よりもまず集合として整理することが重要です。

この問題は単なる積分ではなく、図形の重なりを集合として扱うことが本質です。

楕円の面積公式と対称差の考え方を組み合わせることで効率的に解くことができます。

まず構造を理解し、その後に積分へ落とし込むことが正しいアプローチです。