算数・理科・国語の3教科の合格者データから人数を求める問題は、集合とベン図の考え方を正しく使うことで整理できます。本記事では、条件が複雑に見える場合でも、論理的に人数を分解して解く方法をわかりやすく解説します。
問題の整理：3つの集合として捉える
まず算数（A）、理科（B）、国語（C）をそれぞれ集合として考えます。
それぞれの交わり（共通部分）や単独部分を分解することで、全体像を整理できます。
特に3集合の問題はベン図で考えると構造が明確になります。
与えられている条件の意味
理科22人、国語16人、A∩B=12人、A∩C=8人、B∩C=6人、A∩B∩C=2人という情報が与えられています。
これらは「重なりを含む数」であるため、そのままでは単独人数は求められません。
まず重複部分を整理することが重要です。
3重交差から順に分解する
3教科すべて合格した2人は、すべての交差部分の中心になります。
そこから2教科のみの人数を引いていくことで、各領域を分解できます。
この手順を踏むことでダブルカウントを防ぎます。
各領域の人数の求め方
例えばA∩Bの12人のうち2人は3教科重複なので、残り10人はAとBのみの人です。
同様にA∩C、B∩Cも同様に分解できます。
そこから各集合の「単独部分」を逆算していきます。
算数だけ合格者の考え方
算数だけ合格した人は、算数全体から他教科との重複部分をすべて除くことで求められます。
重複を正しく除去することで、純粋な単独人数が確定します。
このような問題では「全体−重複」の発想が基本になります。
全部不合格の求め方
少なくとも算数または国語を合格した人数が31人なので、全体45人から引くことで不合格者が求まります。
つまり45−31という単純な差分で解決できます。
集合の補集合を使う典型的なパターンです。
まとめ
この問題は複雑に見えても、集合を分解し重複部分を順に整理することで解くことができます。
特に3重交差→2重交差→単独という順番で整理することが重要です。
補集合の考え方も合わせることで、全体像がシンプルに見えるようになります。
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