中学数学の「平方根」と「整数条件」の問題では、式が自然数になるための条件を丁寧に考えることが重要です。本記事では √50(20-m) が自然数になるような自然数mを求める考え方を、途中式とともにわかりやすく整理します。
問題の式を整理する
まず √50(20-m) という式を見たとき、平方根の部分と整数部分を分けて考えることが大切です。
√50はそのままだと扱いにくいため、まず簡単にします。
50 = 25×2 なので、√50 = 5√2 となります。
式を変形して考える
元の式は 5√2(20-m) となります。
この式が「自然数（整数で正の数）」になるためには、√2が含まれていることが大きなポイントになります。
√2は無理数なので、普通の整数にはなりません。
自然数になる条件を考える
5√2(20-m) が自然数になるには、√2が消える必要があります。
しかし √2 は無理数なので、(20-m) が0でなければ必ず無理数が残ります。
つまり、自然数になるには特殊な条件が必要になります。
実際に成り立つ場合を検討する
式が自然数になるには、まず全体が0または整数になる必要があります。
5√2(20-m) が0になるとき、それは (20-m)=0 の場合です。
よって m = 20 のとき式は0となり、自然数ではないが整数として成立します（自然数の定義に注意）。
自然数の定義との確認
中学数学では自然数は「1以上の整数」とする場合が一般的です。
そのため0は自然数に含まれないことが多い点に注意が必要です。
今回の式では、√2が残るため基本的に自然数になるmは存在しません。
まとめ
√50(20-m) を整理すると 5√2(20-m) となり、無理数√2が必ず含まれます。
そのため、(20-m)=0 の場合を除き自然数にはなりません。
自然数の定義を踏まえると、この条件を満たす自然数mは存在しないと判断できます。
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