二次関数と平方根関数で囲まれた面積を求める問題では、どの変数で積分するかによって解き方が大きく変わります。
特にy軸方向の積分は慣れていないと式の立て方で迷いやすいポイントです。
この記事では、x=4y−y^2とy=√(3x)で囲まれる領域を題材に、y軸方向の積分の考え方を整理して解説します。
まずは関数をyについて整理する
与えられた式はx=4y−y^2とy=√(3x)です。
y軸方向で積分するためには、両方の式をx＝f(y)の形に統一する必要があります。
y=√(3x)はx=y^2/3として変形できます。
交点を求めて積分範囲を決定する
次に2つの曲線の交点を求めて、積分区間を決めます。
4y−y^2 = y^2/3 を解くことで、yの範囲を特定します。
この計算により、積分区間の上下限が決まります。
どちらが右側・左側かを判断する
y軸方向の積分では、xの右側の関数と左側の関数を比較する必要があります。
4y−y^2 が右側、y^2/3 が左側になる区間を確認します。
この差を積分することで面積が求まります。
面積は「右−左」で積分する
面積は ∫(右の関数−左の関数)dy で求めます。
今回の場合は (4y−y^2) − (y^2/3) を積分式として立てます。
この形にすることでy軸方向の面積計算が可能になります。
計算の流れを整理すると理解しやすい
①すべてx=f(y)に変換する ②交点を求める ③右左を判断する ④積分する、という流れになります。
この手順を守ることで複雑な領域問題でも安定して解けます。
特にy軸積分は「横にスライスするイメージ」を持つと理解しやすくなります。
まとめ
y軸方向の積分は、関数をyで整理し、右側と左側の差を積分することで面積を求めます。
今回の問題でも同様に、変形・交点・区間・差の順に整理することが重要です。
図をイメージしながら手順を固定化することで、同種の問題にも対応できるようになります。
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