√2の背理法証明で自然数kを使う理由と偶数性の前提

√2が無理数であることを背理法で証明するときに、なぜ自然数kを使うのか、また「a²が2の倍数ならaも2の倍数」という前提が使えるのかについて解説します。

背理法とは何か

背理法は、証明したい命題を否定して矛盾を導く方法です。√2が有理数だと仮定すると、整数の比a/b（既約分数）で表せるとします。

証明の途中でa²が偶数であればaも偶数であることを使うと、aとbの両方が偶数であることが分かります。

ここで、a=2kと書くことで、整数kを用いてaを2の倍数として表すことができます。kは自然数である必要があります。なぜなら、aが整数なので、a=2kとするとkも整数でなければならないからです。

この前提は整数論の基本です。平方数が2で割り切れるとき、その平方の元も2で割り切れます。背理法では、これを前提として使って問題ありません。

例えば、a²が偶数ならa=2kと表せるので、式に代入して矛盾を導くことができます。

仮に√2 = a/bとすると、a² = 2b²となります。a²が偶数なのでa=2kとすると、4k² = 2b² → 2k² = b²。これでb²も偶数となりbも偶数です。

しかし、aとbが共に偶数ならa/bは既約分数ではないため矛盾が生じます。

・自然数kは、偶数aを整数として表すために必要
・「a²が2の倍数ならaも2の倍数」という前提は整数論の基本で、そのまま使用可能
・背理法を使うと、√2を有理数と仮定すると矛盾が生じることを示せる