式の因数分解では、展開する前に公式の形に気付くことが重要です。特に「A²-B²」という形は平方差の公式が利用できるため、計算を大幅に簡略化できます。この記事では、(2x-3y)²-(3y-2z)²を例に、因数分解の考え方と解き方を解説します。
まずは平方差の公式を確認する
平方差の公式は次のようになります。
A²-B²=(A+B)(A-B)
与えられた式では、A=(2x-3y)、B=(3y-2z)と考えることができます。
公式をそのまま当てはめる
式
(2x-3y)²-(3y-2z)²
に平方差の公式を適用すると、
{(2x-3y)+(3y-2z)}{(2x-3y)-(3y-2z)}
となります。
それぞれのかっこを整理する
第1因子は、
(2x-3y)+(3y-2z)=2x-2z
です。
第2因子は、
(2x-3y)-(3y-2z)=2x-3y-3y+2z
となり、
2x-6y+2z
に整理できます。
共通因数をくくり出す
ここでそれぞれの因子には2が含まれています。
2x-2z=2(x-z)
2x-6y+2z=2(x-3y+z)
となるため、
(2x-3y)²-(3y-2z)²=4(x-z)(x-3y+z)
と因数分解できます。
なぜ平方差の公式に気付くことが大切なのか
もし最初から展開すると計算量が大きくなります。
一方で平方差の公式を利用すれば、複雑な2乗の計算をせずに短時間で答えを求めることができます。
数学の因数分解では、まず公式の形が隠れていないか確認する習慣を身につけることが重要です。
まとめ
(2x-3y)²-(3y-2z)²は平方差の公式A²-B²=(A+B)(A-B)を利用して因数分解できます。途中計算を整理すると、最終的な答えは4(x-z)(x-3y+z)となります。因数分解では展開より先に公式を探すことが解法のポイントです。
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