数2 三角関数の応用：sin²xと直線のグラフによる場合分けの考え方

三角関数の方程式をグラフで考える方法は、sin x = t と置き、y = t² の放物線と直線との交点を求めるという非常に有効なアプローチです。この記事では、交点の条件から場合分けを行う際に、直線が y 軸に平行になる場合（t = 定数）について触れます。

直線 y = -2a t – a + 4 の一般形と傾き

直線の式 y = -2a t – a + 4 は t の一次関数です。傾きは -2a であり、y 軸に平行になるのは t の係数が 0 のとき、すなわち a = 0 の場合です。

このとき直線の式は y = -0 – 0 + 4 = 4 となり、水平な線になります。

放物線 y = t² の範囲は 0 ≦ y ≦ 1 です。水平線 y = 4 はこの範囲外です。

したがって、a = 0 の場合、y = t² と y = -2a t – a + 4 は交わらず、解が存在しません。

t = -1/2 を考慮する場合、直線が垂直（y 軸に平行）になる必要があります。しかし直線が垂直になるのは t の係数が無限大になる場合で、今回の式は y = -2a t – a + 4 で t の係数は有限です。

よって t = -1/2 で交わる場合を特別に考える必要はありません。t の値はあくまで y = t² の定義域 [-1,1] の中で交点があるかどうかで確認すれば十分です。

・sin x = t と置いてグラフを考える場合、直線が y 軸に平行になる特別なケースは今回の方程式では発生しない。

・t = -1/2 を個別に場合分けする必要はない。

・グラフでの交点を確認するときは、放物線 y = t² の範囲内で直線と交わるかどうかを基準にすれば、全ての解を網羅できる。