波動関数を運動量固有関数でフーリエ展開できる理由と量子力学の原理

量子力学において、波動関数を運動量固有関数のフーリエ積分で展開できるのは、運動量固有関数が波数に対応する平面波であり、平面波が空間関数の基底を形成するためです。この記事では、その数学的・物理的な背景をわかりやすく解説します。

運動量固有関数とは

運動量固有関数は、ハミルトニアン中で運動量演算子の固有関数です。1次元の場合、運動量演算子は \(\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}\) で表され、固有関数は平面波 \(e^{ikx}\) となります。ここで \(k\) は波数で、運動量 \(p = \hbar k\) に対応します。

フーリエ展開との関係

フーリエ解析では、任意の関数は平面波の重ね合わせで表現できます。同様に、波動関数 \(\psi(x)\) も運動量固有関数（平面波）の重ね合わせで表現でき、これをフーリエ積分として書くことができます。

具体的には、\(\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{ikx} dk\) と表され、\(\phi(k)\) は運動量空間での波動関数です。

物理的意味

この展開により、位置表現の波動関数から運動量分布が得られます。\(|\phi(k)|^2\) は波数 k（運動量 p）を持つ成分の確率密度を示し、位置と運動量の二重性を数学的に表現しています。

なぜ展開可能か

理由は、運動量固有関数が直交基底を形成しているからです。直交性により、任意の波動関数をこれら基底の線形結合として正確に表現できるのです。また、フーリエ変換はこの線形結合を積分の形で表す手法に相当します。

まとめ

波動関数を運動量固有関数でフーリエ展開できるのは、平面波が完全な直交基底を形成すること、そしてフーリエ解析の数学的性質によるものです。この手法により、位置表現と運動量表現の間を簡単に変換でき、量子力学の根本原理である位置・運動量の二重性を具体的に扱えるようになります。