学力テストや高校入試でよく出題される「空間図形」「一次関数」「変域」の問題は、多くの中学生が苦手に感じる単元です。しかし、実はどの分野にも共通する考え方や定番の解法があります。この記事では、2年生までの復習として押さえておきたいポイントを整理しながら、効率よく得点するためのコツを解説します。
空間図形の体積問題は『大きな立体から引く』を意識する
4点を結んでできる立体の体積を求める問題では、いきなり体積を計算しようとすると難しく感じます。
まずは立方体や直方体などの『元になっている立体』を見つけ、その中にある三角錐や四面体として考えることが大切です。
空間図形では高さを見つけることが最優先です。底面積と高さがわかれば、三角錐の体積は「底面積×高さ÷3」で求められます。
よくある考え方
- 立方体の体積から不要部分を引く
- 合同な立体に分ける
- 三角錐として考える
- 底面と高さを探す
図を見たらまず『どこが底面でどこが高さか』を確認する癖をつけましょう。
一次関数の追いつく問題は『距離が同じ』を式にする
兄と妹、AさんとBさんなどが移動する問題は頻出です。
ポイントは『追いつく瞬間は進んだ距離が同じ』ということです。
| 人物 | 距離の式 |
|---|---|
| Aさん | 速さ×時間 |
| Bさん | 速さ×時間＋出発地点の差 |
例えば兄が毎分80m、妹が毎分100mで20分後に出発した場合は、それぞれの距離を式で表し、等号で結びます。
一次関数の文章題は『誰の距離を何で表すか』を整理できればかなり解きやすくなります。
変域の問題は端の値を調べる
長方形の周りを点Pが動く問題では、xの変域とyの変域を求める問題がよく出ます。
変域問題で大切なのは、点Pが頂点に来たときの値を調べることです。
式が完成したら、移動区間の始点と終点を代入して最大値・最小値を確認しましょう。
変域問題の手順
- xを設定する
- yをxで表す
- 点Pの移動範囲を確認する
- 端の値を代入する
- 最大値・最小値を決める
途中の計算よりも、まず移動範囲を図に書き込むことが重要です。
三角形の面積が等しい問題の攻略法
点Pと点Qが動いて、2つの三角形の面積が等しくなる条件を求める問題もよく出題されます。
三角形の面積は『底辺×高さ÷2』なので、まずどの辺を底辺としているのかを確認します。
多くの場合、÷2は両辺に共通なので消えます。その結果、高さや底辺の長さの関係を求めるだけになります。
面積が等しい問題は面積公式をそのまま立式するのが最短ルートです。
テスト直前に優先して練習したい問題
時間がない場合は、すべてを完璧にしようとせず頻出問題に集中しましょう。
- 一次関数の交点問題
- 追いつく・出会う問題
- 変域問題
- 三角形の面積問題
- 立方体の切断や体積問題
これらは毎年のように出題されるため、解法パターンを覚えるだけでも点数が安定します。
まとめ
空間図形は『底面と高さ』、一次関数は『距離が同じ』、変域は『端の値』、面積問題は『底辺×高さ÷2』という基本を徹底することが重要です。難しく見える問題でも、実際は定番パターンの組み合わせであることが多いため、まずは典型問題を繰り返し解いて解法を体に覚えさせましょう。テスト直前は頻出パターンの復習を優先するのがおすすめです。
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