中学校の数学で方程式を学ぶと、文章題に苦手意識を持つ人も少なくありません。特にディオファントスの墓碑文に似た年齢問題は、人生の出来事を分数で表すため、どの数字を足せばよいのか迷いやすい問題です。しかし、ポイントは『人生全体をx歳と置く』ことだけです。この記事では、墓碑文の内容を整理しながら解き方を順番に解説します。
まずは人生全体をx歳と置く
このタイプの問題では、求めたい年齢を文字で置きます。
男が生きた年齢をx歳とすると、墓碑文の内容は次のように表せます。
| 出来事 | 年数 |
|---|---|
| 母と暮らした期間 | x/6 |
| 孤独に過ごした期間 | x/5 |
| 結婚後に息子が生まれるまで | 2年 |
| 息子が生きた期間 | x/2 |
| 息子の死後、妻が亡くなるまで | 1年 |
| 再び孤独に過ごした期間 | x/10 |
これらを全部足すと人生全体のx歳になるはずです。
方程式を作る
人生の全期間を足し合わせると、次の式になります。
x/6 + x/5 + 2 + x/2 + 1 + x/10 = x
まず定数同士をまとめます。
x/6 + x/5 + x/2 + x/10 + 3 = x
ここから分数を整理していきます。
分数を通分する
6、5、2、10の最小公倍数は30です。
それぞれを30分の形にすると次のようになります。
- x/6 = 5x/30
- x/5 = 6x/30
- x/2 = 15x/30
- x/10 = 3x/30
これらを足すと、29x/30になります。
したがって方程式は次の形になります。
29x/30 + 3 = x
方程式を解いてみる
両辺から29x/30を引きます。
x – 29x/30 = 3
1xは30x/30なので、
x/30 = 3
両辺に30を掛けると、
x = 90
となります。
つまり男は90歳まで生きたことになります。
本当に90歳で合うか確認する
答えが出たら検算すると安心です。
| 期間 | 年数 |
|---|---|
| 90×1/6 | 15年 |
| 90×1/5 | 18年 |
| 結婚後 | 2年 |
| 息子の人生 | 45年 |
| 妻が亡くなるまで | 1年 |
| 最後の孤独な期間 | 9年 |
15+18+2+45+1+9=90
ぴったり一致するので正しいことが確認できます。
なぜ息子の人生がx/2になるのか
この問題で混乱しやすいのが『息子は男の半分しか生きられなかった』という部分です。
これは男が90歳だから息子は45歳という意味になります。
つまり息子の生存期間は男の人生の半分なので、方程式ではx/2として表せます。
文章題では『誰を基準にした割合なのか』を確認することが重要です。
まとめ
このタイプのディオファントス風問題は、まず人生全体をx歳と置き、文章に書かれた期間をすべて足して方程式を作るのが基本です。
今回の場合は、x/6+x/5+2+x/2+1+x/10=xとなり、解くとx=90となります。文章題が苦手な場合は、最初に表や図に整理してから式を作ると理解しやすくなるでしょう。
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