高校数学でよく出題される分母の有理化問題。今回は「(√5+√3)/(2-√3)」の分母を有理化した場合、(√5-√3)(2+√3) と書くのは正解になるのか、解説します。
分母の有理化とは何か
分母に平方根がある場合、それを整数に変換する操作を「分母の有理化」と言います。例えば 1/(2-√3) を有理化すると (2+√3)/(2²-(√3)²) = (2+√3)/1 = 2+√3 となります。
この操作では、分母の平方根が消えていることが重要です。
問題の解法を確認する
与えられた式：(√5+√3)/(2-√3)
有理化の標準手順：分母と共役を掛けます。分母の共役は (2+√3) です。
したがって。
(√5+√3)/(2-√3) × (2+√3)/(2+√3) = ((√5+√3)(2+√3)) / ((2-√3)(2+√3))
分母： (2-√3)(2+√3) = 2²-(√3)² = 4-3 = 1
分子： (√5+√3)(2+√3) はそのまま残ります。
分母は有理化されているか？
この形では分母は 1 になり、確かに平方根はなくなっています。したがって「分母を有理化した」という条件は満たしています。
注意点として、多くの教科書や問題集では「分母を有理化して最も簡単な形にせよ」と書かれています。この場合、分子を展開して 2√5+√15+2√3+3 と書くのが正式な簡単な形です。
答えの正解・不正解の判断
問題文に「最も簡単な形にせよ」「展開して書け」と明記されていない場合、分母を有理化しているだけでも正解とされることが多いです。
つまり、(√5-√3)(2+√3) と書いても、分母は 1 になっているため、形式上は有理化されており、部分的には正解といえます。
ただし、採点者によっては展開後の形を求めている場合もあるため、指示に従うのが安全です。
まとめ
「分母を有理化せよ」という問題では、分母の平方根が消えていれば形式上は有理化されており、(√5+√3)/(2-√3) × (2+√3)/(2+√3) = (√5+√3)(2+√3) でも正解扱いになる場合があります。
ただし、指示に「簡単にせよ」とあれば分子を展開して書く必要があります。問題文の指示をよく確認することが重要です。
コメント