2倍角の公式を使った三角関数の変形は、数学I・Aでよく出題される重要なテクニックです。特にcos²θの形に直す公式は、積分や三角方程式の計算で頻繁に利用されます。今回は公式の変形過程をわかりやすく解説します。
基本の2倍角の公式
まず、cos2θの基本公式を確認します。
- ① cos2θ = cos²θ – sin²θ
- ② cos2θ = 1 – 2sin²θ
- ③ cos2θ = 2cos²θ – 1
どれも正しい公式で、θの表現をcos²θやsin²θのどちらかに変えることができます。
cos²θの形に変形する手順
求める形は
cos²θ = (1 + cos2θ)/2
です。公式③から逆算すると簡単に導けます。
公式③: cos2θ = 2cos²θ – 1
両辺に1を足す:
cos2θ + 1 = 2cos²θ
両辺を2で割る:
cos²θ = (1 + cos2θ)/2
sin²θの形に変える場合
同様にsin²θの形にしたい場合は公式②を使います。
公式②: cos2θ = 1 – 2sin²θ
両辺から1を引く: cos2θ – 1 = -2sin²θ
両辺を-2で割る: sin²θ = (1 – cos2θ)/2
変形のポイント
- 公式③から逆算することでcos²θの形に直接変形できる
- sin²θを求めたい場合は公式②を使う
- 公式①はcos²θとsin²θが混ざった形なので、どちらか一方に置き換えてから使用する
まとめ
cos²θ = (1 + cos2θ)/2の公式は、公式③の2cos²θ – 1を逆に変形するだけで簡単に導けます。sin²θの場合は公式②を使って同様に変形可能です。公式①は必要に応じてcos²θやsin²θに置き換えてから使うと便利です。変形の順序を意識すれば、公式の理解と応用力が高まります。
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