複素指数関数の不等式 |e^z-1| ≤ e^|z|-1 ≤ |z|e^|z| (0

複素解析において、指数関数の増加性と三角不等式を用いることで、|e^z-1| ≤ e^|z|-1 ≤ |z|e^|z| を示すことができます。ここではその手順を分かりやすく整理します。

ステップ1: 三角不等式を利用して第一不等式を示す

まず、複素数 z に対して指数関数をテイラー展開すると、e^z = 1 + z + z^2/2! + … です。よって e^z – 1 = z + z^2/2! + … 。

三角不等式により、

|e^z – 1| ≤ |z| + |z|^2/2! + … = e^|z| – 1

これで第一不等式 |e^z-1| ≤ e^|z|-1 が成立します。

次に関数 f(t) = e^t – 1 – t e^t を考えます。微分すると f'(t) = e^t – e^t – t e^t = -t e^t。0

さらに f(0) = 0 なので、0 < t < 1 において f(t) ≤ 0 が成り立ち、e^t - 1 ≤ t e^t が得られます。

t = |z| と置くと、e^|z| – 1 ≤ |z| e^|z| となります。

ステップ1とステップ2より、0<|z|<1 の範囲で

|e^z-1| ≤ e^|z|-1 ≤ |z| e^|z|

が成立することが分かります。

この証明は複素数 z の絶対値に関する議論であり、三角不等式と単調性を利用しています。複素解析の基礎的なテクニックの一例として、他の複素関数でも応用可能です。

Conway, J. B., Functions of One Complex Variable I, Springer, 1978.
Stein, E. M., Shakarchi, R., Complex Analysis, Princeton University Press, 2003.