広義積分に現れる三角関数と1/xの組み合わせは、フーリエ解析やディリクレ積分の代表例です。ここでは、積分式 ∫[0,∞](√2sin(ax+π/4)-cos(bx))/x dx=0 を満たす実数 a,b（a,b≠0）の関係式を求める方法を解説します。
まず被積分関数を整理する
与式の分子にある √2sin(ax+π/4) を加法定理で展開します。
sin(ax+π/4)=sin(ax)cos(π/4)+cos(ax)sin(π/4)
cos(π/4)=sin(π/4)=1/√2 なので
√2sin(ax+π/4)=sin(ax)+cos(ax)
したがって積分は
(sin(ax)+cos(ax)-cos(bx))/x
となります。
積分を2つに分ける
積分Iを
I=∫[0,∞]sin(ax)/x dx + ∫[0,∞](cos(ax)-cos(bx))/x dx
と分解します。
ここで有名なディリクレ積分
∫[0,∞]sin(cx)/x dx = (π/2)sgn(c)
を利用できます。
余弦差の積分公式を使う
さらに次の公式が知られています。
∫[0,∞](cos(px)-cos(qx))/x dx = ln|q/p|
これを用いると
∫[0,∞](cos(ax)-cos(bx))/x dx = ln|b/a|
となります。
積分値を求める
以上より
I=(π/2)sgn(a)+ln|b/a|
です。
問題では I=0 なので
(π/2)sgn(a)+ln|b/a|=0
が成立します。
aの符号ごとに場合分けする
a>0 の場合
sgn(a)=1 なので
ln|b/a|=-π/2
よって
|b|=ae^(-π/2)
a<0 の場合
sgn(a)=-1 なので
ln|b/a|=π/2
よって
|b|=|a|e^(π/2)
関係式を1つにまとめる
両者をまとめると
ln|b/a|=-(π/2)sgn(a)
あるいは
|b|=|a|exp(-(π/2)sgn(a))
となります。
| aの条件 | bの条件 |
|---|---|
| a>0 | |b|=ae^(-π/2) |
| a<0 | |b|=|a|e^(π/2) |
なぜこの公式が使えるのか
この問題の本質は、1/xを含む広義積分を既知のディリクレ積分に帰着することです。
積分区間が無限大まで伸びているため通常の原始関数計算ではなく、フーリエ解析で現れる標準積分公式を利用するのが最も効率的です。
大学数学や難関大学入試では、このような既知積分を使って三角関数の積分条件を求める問題が出題されることがあります。
まとめ
与えられた積分条件
∫[0,∞](√2sin(ax+π/4)-cos(bx))/x dx=0
を満たすための必要十分条件は
ln|b/a|=-(π/2)sgn(a)
です。
同値な形として
|b|=|a|exp(-(π/2)sgn(a))
と表せます。ディリクレ積分と余弦差の積分公式を適切に利用することが解法のポイントです。
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