無限積分 ∫[0,∞](√2 sin(ax+π/4) – cos(bx))/x dx = 0 という条件から、a と b の関係式を求める方法について解説します。ここでは a,b ≠ 0 の実数を前提とします。
積分の分解と公式の利用
積分を 2 つに分けます。
∫[0,∞] √2 sin(ax+π/4)/x dx – ∫[0,∞] cos(bx)/x dx = 0
まず sin(ax+π/4) を展開。
sin(ax+π/4) = sin(ax) cos(π/4) + cos(ax) sin(π/4) = (√2/2)(sin(ax) + cos(ax))
したがって積分は。
∫[0,∞] √2 * (√2/2)(sin(ax)+cos(ax))/x dx – ∫[0,∞] cos(bx)/x dx = ∫[0,∞] (sin(ax)+cos(ax))/x dx – ∫[0,∞] cos(bx)/x dx = 0
既知の積分公式の適用
公式：∫[0,∞] sin(kx)/x dx = π/2 sgn(k), ∫[0,∞] cos(kx)/x dx は発散するが、正則化（コーシー主値）で扱うと、差分で有限値になる。
ここでは sin と cos の組み合わせで、コーシー主値を考えると、積分は sin の項で π/2、cos の項で同様に π/2 に比例します。
比率の導出
積分が 0 になる条件から。
∫[0,∞] sin(ax)/x dx + ∫[0,∞] cos(ax)/x dx – ∫[0,∞] cos(bx)/x dx = 0
簡略化すると a と b は等しくなる必要があります。
a = b
まとめ
結論として、条件 ∫[0,∞](√2 sin(ax+π/4) – cos(bx))/x dx = 0 を満たす a,b の関係式は。
a = b
となります。積分の正則化や既知公式を利用することで、a と b が一致する必要があることが確認できます。
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