テレビ番組「たけしのコマ大数学科」で紹介された分数数列が話題になることがあります。
「次の行の分数は、上の行の隣り合った分数を足して作る」というルールは、一見すると単純ですが、実は深い数学的性質を持っています。
さらに、この数列は数学者ではなく、鉱物学者がレポートの余白に書き残していたという逸話でも知られています。
この記事では、その分数数列の正体や作り方、数学的な意味についてわかりやすく解説します。
紹介されることが多い分数数列
番組などでよく紹介される形は、次のような並びです。
0/1 1/1
0/1 1/2 1/1
0/1 1/3 1/2 2/3 1/1
0/1 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 1/1
この数列では、隣り合う分数 a/b と c/d の間に、
(a+c)/(b+d)
を挿入していきます。
これを「メディアント（mediant）」と呼びます。
どんなルールで増えていくのか
例えば、
1/3 と 1/2
の間なら、
(1+1)/(3+2)=2/5
となります。
つまり、分子同士・分母同士を足して新しい分数を作るわけです。
単純な足し算だけなのに、すべて既約分数が美しく並ぶのがこの数列の面白い点です。
さらに、この方法で作られる分数は大小関係も自然に保たれます。
つまり、
1/3 ＜ 2/5 ＜ 1/2
となり、必ず間の値になります。
この数列の名前は？
この話題でよく関係するのが「ファレイ数列（Farey sequence）」や「スターン・ブロコ木（Stern-Brocot tree）」です。
ファレイ数列とは
ファレイ数列は、ある分母以下の既約分数を小さい順に並べたものです。
例えば分母4以下なら、
0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1
となります。
番組で紹介された並びも、この性質に非常に近いものです。
スターン・ブロコ木とは
一方、「隣同士を足して増やしていく」という構造は、スターン・ブロコ木と呼ばれる分数生成法に近いです。
これは19世紀に時計技師ブロコと数学者スターンによって研究されました。
すべての正の有理数を重複なく生成できることで知られています。
鉱物学者が書き残したという話
質問にある「鉱物学者がレポートの端に書き留めた」という話は、ファレイ数列に関係する有名な逸話です。
イギリスの地質学者・鉱物学者ジョン・ファレイ（John Farey）が1816年にこの数列の性質を紹介したことから、「ファレイ数列」という名前が付けられました。
ただし、実際にはその性質自体はもっと以前から数学者たちに知られていたとされています。
つまり、「発見者」というより「紹介した人物」として名前が残ったわけです。
なぜ数学的に重要なのか
この分数数列は単なる遊びではありません。
数論や連分数、近似理論など、さまざまな数学分野につながっています。
有理数の整理に使える
普通に分数を書くと重複や順序の混乱が起きやすいですが、この方法なら規則的に並べられます。
しかも既約分数だけが自然に現れます。
近似計算にも役立つ
例えば π や √2 を分数近似する研究でも、類似の考え方が使われます。
コンピュータ計算や信号処理にも応用があります。
実際に自分で作ると面白い
この数列は紙とペンだけでも簡単に作れます。
まず0/1と1/1を書き、その間にメディアントを入れるだけです。
すると、どんどん分数が増えていきます。
例えば、
0/1 と 1/2 の間には 1/3
1/2 と 1/1 の間には 2/3
が入ります。
これを繰り返すと、美しい分数の木構造ができます。
数学好きの人が夢中になる理由もわかるでしょう。
たけしのコマ大で人気だった理由
「たけしのコマ大数学科」は、難しい数学を直感的に見せる演出で人気がありました。
この分数数列も、「ただ足していくだけなのに秩序が生まれる」という不思議さが視聴者の印象に残ったテーマの一つです。
特別な公式を使わなくても、規則だけで美しい構造が現れるところに数学の魅力があります。
数学トリビアとして紹介されやすいのも納得です。
まとめ
たけしのコマ大で紹介された分数数列は、ファレイ数列やスターン・ブロコ木に関連する有名な数学構造です。
隣同士の分数の分子・分母を足して新しい分数を作る「メディアント」という操作が特徴です。
単純なルールなのに、既約分数が整然と並ぶ点が数学的にも美しいとされています。
また、鉱物学者ジョン・ファレイの名前が残っていることでも知られています。
数学の中でも「シンプルなのに奥深い」代表例の一つと言えるでしょう。
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