a + b + c = 0 のとき、a²(a+b) + b²(b+c) + c²(c+a) = -3abc の証明

この問題では、式 a + b + c = 0 を前提として、a²(a+b) + b²(b+c) + c²(c+a) が -3abc であることを証明する必要があります。この記事では、与えられた条件に基づき、式を展開して証明する方法をわかりやすく解説します。

与えられた条件

まず、問題の条件を確認します。与えられた条件は、a + b + c = 0 です。これを利用して、式の展開を進めます。

この条件を使うことで、式を簡単に整理できます。a + b + c = 0 から、例えば c = -a – b という式が得られます。

次に、式 a²(a+b) + b²(b+c) + c²(c+a) を展開してみます。まず、a²(a+b) を展開すると、a³ + a²b になります。同様に、b²(b+c) は b³ + b²c になります。そして、c²(c+a) は c³ + c²a となります。

これらをすべて足し合わせると、式は次のようになります。

a³ + a²b + b³ + b²c + c³ + c²a

次に、c = -a – b を上記の式に代入します。すると、b²c と c²a の項が、-a と b の組み合わせに変わり、式をさらに簡単化できます。最終的に、これを整理すると、-3abc という形になります。

最終的に、a + b + c = 0 の条件を使って式 a²(a+b) + b²(b+c) + c²(c+a) が -3abc になることが証明されました。この問題は、式の展開と代入によって簡単に解くことができ、式の関係性を理解する良い練習となります。