高校数学や中学数学では、「東西南北」と「円」を組み合わせた問題がよく出てきます。
しかし、文章だけで位置関係を整理しようとすると、どこに何があるのかわからなくなりやすいです。
特に「北西」「真東」「南西」などが出てくる問題では、まず図を描けるかどうかが重要になります。
この記事では、方角を使った図形問題をどのように整理して考えるのかを、具体例を使いながらわかりやすく解説します。
まずはデパートを中心に方角を書き込む
このタイプの問題では、最初にデパートを中心に置きます。
そのあと、方角通りに建物を配置します。
- 市庁舎ビル → 真東
- 城郭 → 北西
- 学校 → 南西
- お寺 → 学校の真東
ここで大事なのは、「北西」は45°方向ということです。
つまり、東西南北だけでなく、その中間方向も角度として考えます。
北西は「西から北へ45°」でもあり、「北から西へ45°」でもあります。
なぜ①の角度が45°になるのか
①は「デパート→学校→お寺」の順に進んだ時の角度を求めています。
ここで重要なのは、学校とお寺の位置関係です。
問題文では「学校の真東にお寺がある」と書かれています。
つまり、学校から見ると、お寺は真横（東方向）にあります。
一方、学校はデパートから見て南西方向にあります。
逆に言えば、学校からデパートを見ると北東方向になります。
北東は、東と北のちょうど中間です。
したがって、学校を頂点にすると、
- 学校→お寺 = 東方向
- 学校→デパート = 北東方向
となります。
東から北東までの角度は45°なので、答えは45°になります。
②で扇形が1/4になる理由
②では、「城郭・デパート・学校」を結んでできる扇形を考えます。
ここでポイントになるのは、4つの建物がすべてデパートから100m離れているという条件です。
つまり、デパートを中心とする円周上に建物が並んでいます。
このとき、
- 城郭 = 北西
- 学校 = 南西
となっています。
北西から南西まで、方角でどれくらい回るか考えてみます。
北西 → 西 → 南西
となるので、角度は90°です。
円全体は360°なので、
\(90\div360=\frac14\)
となります。
扇形の面積は「中心角の割合」で決まるので、90°なら円全体の4分の1になります。
この問題で大切なのは「図を描く力」
このタイプの問題では、計算力よりも図を整理する力が重要です。
文章だけで考えると混乱しやすいため、
- 中心を書く
- 東西南北を書く
- 建物を配置する
- 角度を見る
という順番で整理すると解きやすくなります。
特に「真東」「北西」「南西」などは、時計のように角度で考えると理解しやすいです。
方角問題を解くコツ
方角を使う図形問題では、次のポイントを意識すると整理しやすくなります。
| ポイント | 内容 |
|---|---|
| 中心を決める | まず基準地点を書く |
| 東西南北を書く | 十字を描くと整理しやすい |
| 北西・南西を45°で考える | 斜め方向を角度化する |
| 円は360° | 割合問題につなげる |
慣れてくると、図を描いた時点で答えが見えることも増えてきます。
まとめ
方角と円を使う問題では、まず図を正しく描けるかが重要です。
①の45°は、「学校から見たデパートが北東方向」であることから考えられます。
また②は、北西から南西までが90°であるため、円全体360°の4分の1になります。
このタイプの問題は、文章をそのまま読むより、「図に変換する力」を意識すると理解しやすくなります。
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