中学2年生の文字式や証明では、「なぜそう言えるのか」を丁寧に説明する問題がよく出てきます。
特に、「4の倍数は下2桁だけ見れば判定できる」という性質は有名ですが、実際に証明しようとすると、「これで本当にいいのかな？」と不安になることもあります。
この記事では、4桁の数を文字で表したときに、なぜ下2桁が4の倍数なら元の数も4の倍数になるのかを、途中式の意味も含めてわかりやすく解説します。
4桁の数を文字で表す
4桁の数について、
- 1000の位を a
- 100の位を b
- 10の位を c
- 1の位を d
とすると、その数は
1000a+100b+10c+d
と表せます。
これは、「位ごとの値を足している」という意味です。
1000aと100bに注目する
ここで、1000と100はどちらも4で割り切れます。
| 数 | 4で割ると |
|---|---|
| 1000 | 4×250 |
| 100 | 4×25 |
なので、
1000a+100b+10c+d
＝4(250a+25b)+10c+d
と変形できます。
ここまでは質問者さんの考え方と同じで、完全に正しいです。
「10c+dが4の倍数」をどう使うのか
問題文では、「10c+dが4の倍数」と書かれています。
4の倍数とは、「4×整数」の形にできる数のことです。
そのため、ある整数 p を使って、
10c+d=4p
と表せます。
この「p」は特別な数ではなく、「4で割った結果の整数」を文字で置いただけです。
数学では、このように「○の倍数なら4×整数と書ける」という表現をよく使います。
式をまとめるとどうなる？
先ほどの式に代入すると、
1000a+100b+10c+d
＝4(250a+25b)+4p
＝4(250a+25b+p)
となります。
つまり、「4×整数」の形になりました。
したがって、この4桁の数は4の倍数であることがわかります。
「4p」が不自然に感じる理由
中学生が最初につまずきやすいのが、この「4p」という表現です。
しかし実際には、これは非常に基本的な数学の書き方です。
例えば、
- 偶数 → 2n
- 3の倍数 → 3k
- 5の倍数 → 5m
のように、「○の倍数」を文字で表すときは、必ず「○×整数」という形を使います。
なので、「10c+dが4の倍数だから4pとおける」という流れは、むしろ標準的で正しい書き方です。
もっと簡潔に書く方法
学校の答案では、次のようにまとめると見やすくなります。
4桁の数を
1000a+100b+10c+d
とする。
1000a+100b
＝4(250a+25b)
より、1000a+100bは4の倍数である。
また、10c+dも4の倍数であるから、ある整数pを用いて
10c+d=4p
と表せる。
したがって、
1000a+100b+10c+d
＝4(250a+25b)+4p
＝4(250a+25b+p)
となる。
よって、この4桁の数は4の倍数である。
なぜ下2桁だけ見ればいいのか
この証明の本質は、「100の位以上は全部4で割り切れる」という点です。
つまり、1000aや100bは最初から4の倍数なので、最後に影響するのは下2桁だけになります。
だから、4の倍数かどうかは「10c+d」だけ見れば判定できるのです。
これは、日常的な4の倍数判定のルールにつながっています。
まとめ
「10c+dが4の倍数なら、その4桁の数も4の倍数になる」という証明では、
- 1000aと100bが4の倍数
- 10c+dを4pと置ける
という2つがポイントになります。
質問者さんの考え方は数学的に正しく、「4p」と置く方法も正式な証明の書き方です。
「○の倍数なら○×整数と表せる」という考え方は、今後の数学でも何度も使う重要な基本になります。
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