集合の問題で出てくる「PとQを購読している人数」「3つ全部を購読している人数」などは、最初は本当に混乱しやすいです。
特にベン図では、“重なっている部分”が複数あるため、「どこまで含めるのか」が分からなくなります。
この記事では、「なぜ2冊購読が10人になるのか」を、図を頭の中でイメージしながら、超わかりやすく整理していきます。
まず「PとQの両方を購読」は何を含む？
問題でよく出る「PとQの両方を購読している人数」は、
PとQが重なっている部分全部
を意味します。
ここが最重要ポイントです。
つまり、
- PとQだけ読んでいる人
- PとQとRを全部読んでいる人
の両方が含まれています。
たとえば「P∩Q = 20」と書かれていたら、その20人の中には、“3冊全部読んでいる人”も含まれています。
「3冊全部の5人」を引く理由
問題ではさらに、
P・Q・Rすべて購読している人 = 5人
とあります。
つまり、PとQの重なり20人の中には、3冊全部読んでいる5人が含まれているわけです。
なので、
20 − 5 = 15
となります。
ここで出てくる15人は、
「PとQだけ」を購読している人数
です。
ここまでは、質問者さんの考え方で正しいです。
では、なぜ「2冊購読」が10人になるのか
ここで大事なのは、
「PとQだけ」だけが“2冊購読”ではない
という点です。
ベン図には、
- PとQだけ
- QとRだけ
- RとPだけ
という3種類の「2冊だけ購読」があります。
つまり、「2冊購読」というのは、
“ちょうど2冊だけ読んでいる人全体”
を意味します。
なので、「PとQだけ」が15人だったとしても、それだけでは答えになりません。
ベン図では「含まれているか」を考える
集合問題では、数字を見るときに、
- その部分だけなのか
- さらに奥の重なりも含むのか
を考える必要があります。
たとえば、
PとQの共通部分
には、中央の「3つ全部重なる部分」も含まれます。
しかし、
2冊だけ購読
と言われた場合は、中央の3冊購読部分は含みません。
ここが最も混乱しやすいポイントです。
「両方」と「だけ」の違いが超重要
数学の集合では、日本語の違いがとても重要です。
| 表現 | 意味 |
|---|---|
| PとQの両方 | 3冊全部も含む |
| PとQだけ | Rは含まない |
| 2冊購読 | ちょうど2冊だけ |
この違いを区別できると、一気に理解しやすくなります。
なぜ質問者さんの考えは惜しかったのか
質問者さんは、
20 − 5 = 15
という考え方ができています。
これは実はかなり良い理解です。
ただし、その15人はあくまで、
「PとQだけ」
の人数です。
問題の「2冊購読」は、
- PとQだけ
- QとRだけ
- RとPだけ
を全部合わせた人数なので、別計算になります。
つまり、「2冊購読＝灰色部分1か所だけ」ではなかった、というのがズレの原因です。
集合問題が急に難しく感じる理由
集合問題は、計算そのものより、
「どこまで含むのか」
の日本語理解が難しい分野です。
特に、
- 少なくとも
- だけ
- 共通
- すべて
などの言葉で意味が変わります。
逆に言えば、この違いを整理できれば、集合問題はかなり解けるようになります。
まとめ
「PとQの両方を購読している20人」には、3冊全部購読している5人も含まれています。
そのため、
20 − 5 = 15
で、「PとQだけ」の人数は求められます。
しかし、「2冊購読」は、PとQだけではなく、
- QとRだけ
- RとPだけ
も含めた“ちょうど2冊だけ読んでいる人全体”を意味します。
つまり、「両方」と「だけ」の違いが、この問題の最大のポイントです。
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