高校数学で二次関数を学ぶと、「x軸と x=a,b で交わる放物線は y=k(x-a)(x-b) と表せる」と習います。しかし、初めて見ると「なぜ (x+a) ではなく (x-a) なの？」「aやbがマイナスになる理由が分からない」と感じる人は多いです。
特に、x=a を代入したら0になるという話と、式の形がどうつながるのかが最初はイメージしづらいところです。
この記事では、「なぜ (x-a)(x-b) になるのか」を、因数とx軸との交点の関係から順番に整理して解説します。
x軸と交わるとはどういう意味か
放物線が x軸と交わるということは、その点では y=0 になるということです。
例えば、
x=2 で x軸と交わる
なら、その点では
y=0
になります。
つまり、式に x=2 を代入したとき、結果が0になる必要があります。
これが重要なポイントです。
なぜ(x-a)になるのか
では、x=a のとき0になる式を考えてみます。
最も簡単なのは、
x-a
です。
実際に x=a を代入すると、
a-a=0
になります。
つまり、x=a のとき0にしたいなら、「x-a」という形が必要なのです。
同じように、x=b のとき0にしたいなら、
x-b
が必要になります。
だから(x-a)(x-b)になる
x=a のとき0になる因数は x-a、
x=b のとき0になる因数は x-b。
両方で0になる必要があるので、それらを掛け合わせます。
すると、
(x-a)(x-b)
となります。
これが、「x軸と x=a,b で交わる放物線」の基本形です。
さらに、放物線の開き方を調整するために定数 k を付けて、
y=k(x-a)(x-b)
と表します。
もし(x+a)にするとどうなる？
ここで、「なぜマイナスなの？」という疑問を考えてみましょう。
もし、
x+a
だった場合、x=a を代入すると、
a+a=2a
になってしまいます。
0にはなりません。
逆に、x=-a を代入すると、
-a+a=0
になります。
つまり、
- x-a → x=a で0
- x+a → x=-a で0
という違いがあります。
具体例で見ると分かりやすい
例えば、x=1 と x=3 でx軸と交わる放物線を考えます。
この場合は、
y=(x-1)(x-3)
です。
実際に代入すると、
x=1 のとき
(1-1)(1-3)=0
x=3 のとき
(3-1)(3-3)=0
となり、どちらもちゃんと0になります。
これによって、x軸と交わることが確認できます。
「マイナス」は公式ではなく条件から決まる
数学では、「とりあえずマイナスを付ける」のではありません。
「x=a のとき0になる」という条件を満たすように考えると、自然に x-a になります。
つまり、マイナスは暗記ではなく、
代入したとき0にするため
に必要なのです。
この考え方を理解すると、因数分解や方程式の理解もかなり深まります。
まとめ
放物線が x=a,b でx軸と交わるということは、x=a と x=b を代入したとき y=0 になるという意味です。
x=a のとき0になる式は x-a、x=b のとき0になる式は x-b なので、
(x-a)(x-b)
という形になります。
もし (x+a) にすると、0になるのは x=-a のときです。
つまり、()の中がマイナスになるのは、「その値を代入したとき0にするため」です。
単なる公式暗記ではなく、「代入すると0になる」という視点で考えると理解しやすくなります。
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