不等式 2x – 3 > a + 8x の解と最大整数から求める定数aの範囲

不等式 2x – 3 > a + 8x の解を求め、さらに解の中で最大の整数が0となるように定数 a の値の範囲を考える問題について解説します。段階的に整理すると理解しやすくなります。

不等式の整理

与えられた不等式 2x – 3 > a + 8x を x について整理します。まず両辺から 2x を引くと -3 > a + 6x となります。次に 6x を移項すると -3 – a > 6x、つまり x < (-3 - a)/6 となります。

x の範囲と最大整数

不等式の解は x < (-3 - a)/6 です。ここで、解の中で最大の整数が 0 となる条件を考えます。最大整数が 0 になるとは、x が 0 より小さい値は許容されますが、0 は解に含まれない場合と含まれる場合の境界です。

x = 0 がまだ解の範囲に含まれない場合を考えると、0 < (-3 - a)/6 である必要があります。

a の範囲の計算

0 < (-3 - a)/6 から両辺に 6 をかけると 0 < -3 - a、すなわち a < -3 となります。これにより、定数 a の範囲は a < -3 であることが分かります。

確認と例

例えば a = -4 とすると、不等式は x < (-3 - (-4))/6 = 1/6 となります。この範囲の最大整数は 0 です。a = -3 の場合は x < 0 となり、最大整数は -1 となるため条件を満たさなくなります。

まとめ

不等式 2x – 3 > a + 8x を x について整理すると x < (-3 - a)/6 となります。解の中で最大の整数が 0 となるようにするには、定数 a の値の範囲は a < -3 です。この手順を紙に書くと分数や不等式の整理が視覚的に確認しやすく、理解が深まります。