「毎回3点ずつ上がる」「平均点が変わる」といった文章題は、条件を整理できるかどうかがポイントになります。
特に今回の問題は、等差数列・平均・文字式の考え方が同時に必要になるため、途中で混乱しやすいタイプです。
この記事では、問題文を順番に整理しながら、なぜその式になるのかを丁寧に解説していきます。
まず問題の条件を整理する
問題文には次の情報があります。
- A子さんは毎回3点ずつ得点を上げている
- 今までの平均点は64点
- 次回、前回より12点高い点を取ると平均が67点になる
「毎回3点ずつ上がる」ということは、点数は等差数列になっています。
例えば次のようなイメージです。
50 → 53 → 56 → 59 → 62 …
差が常に3なので、等差数列として考えられます。
平均点が67点になる条件を使う
ここで、今までに受けたテスト回数を n回 とします。
平均64点なので、今までの合計点は次のようになります。
64n 点
そして、次回のテストを加えると平均が67点になります。
つまり、次回を含めた合計は
67(n+1)
となります。
したがって、次回のテストの点数は
67(n+1)-64n
これを計算すると、
3n+67 点
「前回より12点高い」を利用する
次に、「毎回3点ずつ上がる」という条件を使います。
前回のテストより12点高いということは、通常より3点上昇するところを、さらに9点多く上がったことになります。
つまり、次回の得点は、本来の流れの次の点数より9点高いことになります。
ここで、等差数列の平均の性質を使うと、今までの平均64点は、最初と最後の真ん中になります。
最後の点数を L とすると、
最初＋最後 = 128
さらに、毎回3点ずつ増えるので、
最後 = 最初 + 3(n-1)
これらを整理すると、最後の点数は
L = 64 + 3(n-1)/2
ただし、もっと簡単な方法があります。
平均との差から考えると簡単
等差数列では、平均は「最初と最後の真ん中」です。
点数が3点ずつ増えるなら、最後の点数は平均より少し高くなります。
最後のテストは、平均64点より
3(n-1)/2 点高い
次回のテストはそこからさらに12点高いので、
64 + 3(n-1)/2 + 12
これが先ほど求めた次回の点数
3n+67
に一致します。
式を立てると、
64 + 3(n-1)/2 + 12 = 3n+67
整理すると、
n = 5
2、今まで受けたテスト回数
したがって、今まで受けたテスト回数は
5回
となります。
3、最初のテストの点数
5回受けていて、毎回3点ずつ増えるなら、点数は次の形になります。
| 回数 | 点数 |
|---|---|
| 1回目 | x |
| 2回目 | x+3 |
| 3回目 | x+6 |
| 4回目 | x+9 |
| 5回目 | x+12 |
平均64点なので、合計は
64×5=320
一方、合計は
5x+30
だから、
5x+30=320
5x=290
x=58
つまり、最初のテストは
58点
1、次回のテストで3点上がる場合の平均
5回目は70点です。
通常通り3点アップなら次回は73点。
今までの合計320点に73点を加えると、
393点
テスト回数は6回になるので、
393÷6=65.5
したがって平均点は
65.5点
まとめ
この問題では、「平均」と「毎回3点ずつ増える」という2つの条件を同時に整理することが大切です。
- 1、次回3点アップなら平均は65.5点
- 2、今までのテスト回数は5回
- 3、最初のテストは58点
等差数列では、「平均との差」を意識すると、式がかなり立てやすくなります。
文章題は数字だけでなく、「何を表している式なのか」を考えながら整理すると理解しやすくなります。
コメント