なぜ 0.999… = 1 なのか？無限小数の理解

数学では、0.999…（小数点以下が無限に続く9）は1と等しいとされています。一見すると1より少し小さいように見えますが、無限小数の性質を理解すると納得できます。

1/3 を使った例

まず、1/3 = 0.333… ということは皆さんも知っていると思います。両辺を3倍すると、1 = 3 × 0.333… となります。

右辺の 3 × 0.333… は小数を掛け算すると 0.999… になります。よって、1 = 0.999… です。

0.999… は無限に9が続くため、1との差は無限に小さい値です。数学的には、限界値として 1 に収束すると考えられるので、0.999… = 1 と定義できます。

x = 0.999… と置きます。すると、10x = 9.999… です。両辺から x を引くと 10x – x = 9x = 9 となり、x = 1 となります。

・1/3 = 0.333… を3倍すると1になる
・無限小数は限界値として1に収束する
・よって、0.999… = 1 は数学的に正しい表現です

無限に続く小数は直感と違うように感じるかもしれませんが、数学的には1と完全に同じ値として扱われます。