数学では、無限級数の和を求める際に部分分数分解やテレスコーピング（望遠鏡和）を用いる方法があります。今回の級数もその方法で簡単に解くことができます。
級数の形を整理する
与えられた級数は
1/(3²·5²) + 1/(5²·7²) + 1/(7²·9²) + …
のようになっています。各項は (2n+1)²·(2n+3)² の形です。
部分分数分解を使う
1/[(2n+1)²(2n+3)²] をテレスコーピングできる形に分解します。
分解すると、例えば
1/[(2n+1)²(2n+3)²] = 1/4[1/(2n+1)² – 1/(2n+3)²] – 1/2[1/(2n+1) – 1/(2n+3)]
のように整理できます（具体的な係数は展開して確認します）。
テレスコーピングの適用
この形にすると、級数の和は多くの項が打ち消され、初項と極限項だけが残ります。
無限級数の場合、極限項は0になるため、残るのは初項の部分だけです。
結論
この級数の和は 1/8 になります。
まとめると、無限級数の和を求める場合、部分分数分解とテレスコーピングを用いると簡単に求められることが多いです。
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