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高校数学

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2026.05.17

数学でよく出てくる不等式の一つに、正の数a,bと0

関数の定義と凸性

まず、関数f(t) = t^xを考えます。ここでt>0、0

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凹関数の不等式

凹関数に対しては、任意の正の重みλ_1, λ_2 (λ_1+λ_2=1) に対し、f(λ_1 a + λ_2 b) ≥ λ_1 f(a) + λ_2 f(b) となります。

今回のケースでは、a,b>0でλ_1 = λ_2 = 1/2とすれば、f((a+b)/2) ≥ (f(a) + f(b))/2、両辺を2^x倍すると (a+b)^x ≤ a^x + b^x となります。

具体例

例えば、a=4, b=1, x=1/2の場合、(4+1)^{1/2} = √5 ≈ 2.236、a^{1/2}+b^{1/2} = √4 + √1 = 2+1=3。確かに(4+1)^0.5 < 4^0.5+1^0.5です。

まとめ

結論として、a,b>0、0