高校数学での統計的推測と二項分布の使い方：標本比率の期待値と標準偏差

統計的な推測問題では、母比率と標本比率を用いて期待値や標準偏差を求めることがよくあります。ここでは、二項分布と正規近似の使い分けについて解説します。

二項分布の基本

無作為に抽出した400人の有権者のうち、内閣を支持する人数Xは二項分布B(n=400, p=0.5)に従います。この場合、期待値はE[X]=np=200、標準偏差はσ_X=√(np(1-p))=√100=10となります。

問題で求めたい標本比率RはR=X/nです。期待値はE[R]=E[X]/n=p=0.5、標準偏差はσ_R=σ_X/n=√(p(1-p)/n)=√(0.5*0.5/400)=0.025となります。

理論上は、二項分布B(400,0.5)を直接使ってRの分布を計算することも可能です。ただし、nが大きくpが0.5付近の場合、二項分布は正規分布で近似できます。これにより計算が簡単になり、教科書や解答でも正規近似が用いられることが一般的です。

この問題では、二項分布を使うことは不適切ではありませんが、n=400と十分大きいため、正規分布で近似する方が便利です。期待値や標準偏差の計算も同じ結果が得られ、統計的推測における標準的な手法として扱われます。