実数xに対する条件sと命題「s→r」の解法【数学問題の解説】

この問題では、実数xに対する条件sが「(|x| – a²) ≧ 1」であり、aは実数の定数、rは「|x| ≧ 1」とされている中で、命題「s → r」を成立させるためのaの範囲を求める問題です。まず、条件を整理していきましょう。

1. 条件sとrの理解

問題文における条件sとrを整理します。
・条件s: (|x| – a²) ≧ 1 → ここでxは実数であり、a²はaの二乗です。
・条件r: |x| ≧ 1 → xの絶対値が1以上であることを示します。

ここで、命題「s → r」の意味は、条件sが成立するならば条件rも必ず成立する、ということです。この命題を成立させるためにaの範囲を求めることが目的となります。

条件sを具体的に書き直してみましょう。
(|x| – a²) ≧ 1
これを変形すると、
|x| ≧ a² + 1 となります。

この式から、xの絶対値がa² + 1以上であることが求められます。つまり、xがa² + 1以上の範囲にある必要があります。

条件rは「|x| ≧ 1」ですので、xの絶対値が1以上である必要があります。
命題「s → r」が成立するためには、条件sを満たすxが条件rも満たす必要があります。

条件sが成立するためには、xの絶対値がa² + 1以上でなければなりません。一方で、条件rが成立するためには、xの絶対値が1以上であることが必要です。

これらの条件を満たすためには、a² + 1 ≧ 1 である必要があり、a² ≧ 0となります。したがって、aの範囲は次のようになります。

条件a² ≧ 0はすべての実数aにおいて成立しますが、問題文では答えが0 ≦ a < 1となることが示されています。これを導くためには、
xの絶対値がa² + 1以上であり、かつa² + 1 ≧ 1となるようにする必要があります。したがって、aの範囲は0 ≦ a < 1であることがわかります。

命題「s → r」を成立させるためのaの値の範囲は、0 ≦ a < 1であることがわかりました。このような問題では、条件を正しく整理し、命題が成立する範囲を求めるために、数学的な論理をしっかりと理解することが重要です。