正則行列を基本行列の積で表す方法と基本変形の手順解説

この問題では、与えられた正則行列を基本行列の積として表す手順を学ぶことが目的です。正則行列とは、逆行列が存在する行列のことです。

1. 問題の行列

対象の行列は以下です。

(1 1 1)
(1 0 1)
(0 0 1)

基本行列とは、行列に対して1つの基本変形（行の交換、行のスカラー倍、行の加減算）を行ったときに掛ける行列のことです。

2. 基本変形の種類

• 行の交換：行 i と行 j を入れ替える
• 行のスカラー倍：行 i を非ゼロ定数 k 倍する
• 行の加減算：行 i に k 倍の行 j を加える

3. 基本行列の積に分解する手順

手順例。

1. 最初の行を固定して、2行目から1行目を引く：E1 * A
2. 3行目から1行目を引く：E2 * E1 * A
3. 必要に応じて行のスカラー倍や加減算で上三角行列にする

各 E1, E2 が基本行列であり、掛け算の順に適用されることで元の行列が分解されます。

4. 基本変形の過程例

例えば。

E1 = 行2 - 行1 を行2に加える基本行列
E2 = 行3 - 行1 を行3に加える基本行列

こうして、最終的に単位行列に変形される過程を逆順で掛けることで、元の行列を基本行列の積として表せます。

まとめ

・与えられた行列を基本行列の積に分解するには、行の基本変形を順に行う。
・各変形に対応する基本行列を掛け算の順序で並べる。
・逆順で掛けると元の行列を基本行列の積として表現可能。