イプシロン・デルタ論法の基本例：0<|x-1|<δ ⇒ |1/x - 1|<εのδの求め方

イプシロン・デルタ論法は、関数の極限を厳密に定義するための手法です。ここでは例として、0<|x-1|<δならば|1/x-1|<εとなるδを求める方法を解説します。

問題の整理

与えられた式は|1/x-1|<εです。まず分数を整理して、変形します。

|1/x – 1| = |(1 – x)/x| = |x-1| / |x| となります。

分母の扱い方

ここで注意するのは、xが1に近づくと分母xも1に近づくため、分母が0に近づかないことを利用します。例えば、|x-1|<1 と制限すれば、01/2 となります。

δの決定

よって、|x-1|/|x| < |x-1| / (1/2) = 2|x-1| です。これを|1/x - 1|<εにするためには、2|x-1|<ε、すなわち |x-1|<ε/2 とすればよいことがわかります。

最終的なδ

さらに安全のため、|x-1|<1 も条件として加えると、δ = min{1, ε/2} としておくと、0<|x-1|<δならば|1/x-1|<εが成立します。

まとめ

ポイントは、分母の絶対値を下から制限して安全に扱うことです。分母の範囲を確認することで、δをεで表すことができます。