速度ベクトルの定義と微分不可能点への対応方法

物理で運動する点の速度ベクトルを定義する際、x=f(t), y=g(t)として(dx/dt, dy/dt)とする方法は一般的ですが、微分不可能な点や連続だが角がある関数には対応できません。ここでは、その場合の考え方や定義の拡張について整理します。

基本的な速度ベクトルの定義

標準的な定義では、座標関数f(t), g(t)が微分可能なとき、速度ベクトルは(v_x, v_y)=(dx/dt, dy/dt)で与えられます。この場合、瞬間移動や不連続点を考慮せず、連続かつ滑らかな運動を前提としています。

微分不可能点では瞬間的な接線が定義できないため、速度ベクトルも未定義になります。物理的には、現実の運動は連続的なので、理想的な数学モデルとしては微分不可能点は無視して問題ありません。

より厳密に扱う場合、右微分・左微分を用いた片側速度ベクトルや、関数の平均変化率を用いて近似的に速度を定義する方法があります。

ほとんどの物理問題では、連続で滑らかな曲線上の運動を扱うので、微分可能な区間のみで速度ベクトルを定義すれば十分です。角がある場合や折れ線状の軌跡では、その角の瞬間を除いて定義すればよく、角の前後で速度ベクトルを区間ごとに定義します。

速度ベクトル(dx/dt, dy/dt)は微分可能な関数に対して定義されるのが標準です。連続で微分不可能な点は物理的にはほとんど問題にならず、必要に応じて右微分・左微分や平均変化率を用いて近似的に扱うことが可能です。