十進数からp進数への変換：一意性と存在の理由を理解する

数を十進数から任意のp進数に変換する際、なぜ各桁の係数A_nが存在し、それが一意に決まるのか疑問に思う方は多いです。この記事では、p進表記の基礎と、その存在と一意性について解説します。

1. p進数表記の基本

任意の整数Nは、基数pを用いて以下の形に表すことができます。

N = A₀ + A₁p + A₂p² + … + Aₖpᵏ

ここで各A_iは0以上p未満の整数です。これは、割り算と余りの概念を用いることで構成できます。

2. なぜ{A}は存在するのか

任意の整数Nをpで割ると、余りRが0からp-1までの範囲で必ず存在します。この余りRが最下位桁A₀に対応します。次に商Q = (N – R)/pを再びpで割ると、その余りが次の桁A₁となります。この操作を商が0になるまで繰り返すことで、全ての桁が決まります。

3. どうして一意に定まるのか

もし同じ整数Nに対して二通りの異なる桁列{A_n}が存在したと仮定すると、両方のp進展開の差を考えると0となるべき整数がpの冪の組み合わせで表され、かつ各桁は0からp-1の範囲にあるため、矛盾が生じます。したがって、展開は一意に定まります。

4. 例で理解する

例えば、N=23を3進数に変換する場合、23 ÷ 3 = 7 余り 2 → A₀=2

7 ÷ 3 = 2 余り 1 → A₁=1

2 ÷ 3 = 0 余り 2 → A₂=2

したがって23の3進数表記は212となります。一意に定まる理由も、余りを用いた段階的な構築により確認できます。

5. まとめ

• p進数表記は割り算と余りの操作で各桁A_iを構成できるため必ず存在する。
• 各桁が0からp-1までの範囲にあることにより、一意性が保証される。
• 具体例を通して段階的に桁を求めることで、存在と一意性の理解が容易になる。