線形代数において、行列が正則かどうかを判断し、正則であれば逆行列を求めることは基本かつ重要なスキルです。本記事では、4×4行列を例に、基本変形の過程を含めて正則判定と逆行列の求め方を解説します。
問題の行列
対象となる行列は以下です。
A = [[0,2,4,1],[1,-1,0,2],[3,9,6,-5],[3,4,5,1]]
ステップ1：正則判定（行列式の計算）
行列が正則かどうかは、行列式が0でないかで判断できます。行列式を展開すると、det(A) = -72 ≠ 0 となるため、この行列は正則です。
ステップ2：逆行列の求め方（基本変形）
逆行列は、拡大係数行列 [A | I] に対して、行基本変形を行い左側を単位行列にすることで右側に求めます。
主な変形手順。
- 行1と行2を入れ替え、ピボットを整える。
- 行1をピボットで割り、列1を0にするよう他行から消去。
- 同様に列2、列3、列4のピボットを作り、他行を消去。
- 最終的に左側が単位行列になったとき、右側が逆行列となります。
逆行列の結果
計算すると逆行列は以下の通りです。
A^-1 = [[-1/2, -1/2, 1/2, 0],[1/3, -1/6, 0, 1/6],[1/6, 1/3, 0, -1/6],[1/6, 1/6, -1/6, 0]]
まとめ
今回の行列は行列式が非ゼロなので正則です。逆行列は基本変形により求めることができ、途中の行操作を丁寧に行うことで正確に導出可能です。行列の正則判定と逆行列の計算は、線形代数での重要な基本技術です。
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