法線と距離比が一定の曲線の求め方：PN^2とONの比の条件から導く

高校数学で出題される曲線の問題には、法線や距離比の条件から曲線の形を求めるものがあります。ここでは、点Pが曲線上にあり原点Oを通る場合、Pにおける法線とx軸の交点Nに関してPN^2とONの比が一定となる曲線を求める方法を解説します。

法線の方程式を立てる

曲線をy = y(x)とし、P=(x,y)とします。傾きはy’ = dy/dx。点Pにおける法線の傾きは-1/y’です。

法線の方程式：Y – y = (-1/y’)(X – x)

x軸と交わる点NはY=0なので、X座標はN_x = x + y y’となります。

PNの距離はPN^2 = (N_x – x)^2 + (0 – y)^2 = (y y’)^2 + y^2 = y^2 (y’^2 + 1)

ONの距離はON = √(N_x^2 + 0^2) = √(x + y y’)^2 = |x + y y’|

PN^2 / ON = k (一定) の条件から、y^2 (1 + y’^2) / |x + y y’| = k が導かれます。

符号に注意して整理すると、微分方程式として y^2 (1 + y’^2) = k (x + y y’) が得られます。

この微分方程式は、変数分離や置換法を使って解くことができます。例えば、p = y’, 代入して整理すると積分可能な形に変形できます。

積分後、y = f(x) の形で曲線の式が求められます。具体的な形は定数kの値に依存します。

PN^2とONの比が一定となる曲線は、法線の方程式から交点Nを求め、距離比を条件として微分方程式を立てることで求められます。

この手順を踏むことで、法線や距離比の条件から曲線の形を解析的に求めることができます。