数列の極限と平均値の極限：an→αなら平均もαに収束する証明

数列 {a_n} が n → ∞ のとき a_n → α ならば、部分和の平均 (a_1 + a_2 + … + a_n)/n も α に収束することを示します。中学生や高校生でも理解できるよう、ステップを追って解説します。

ステップ1：極限の定義を思い出す

a_n → α とは、任意の ε > 0 に対して、ある N が存在し n > N のとき |a_n – α| < ε が成り立つことです。

平均値を二つに分けます。

(a_1 + … + a_N)/n + (a_{N+1} + … + a_n)/n

前半は有限項なので n が大きくなると (a_1 + … + a_N)/n → 0 です。

後半の項はすべて |a_k – α| < ε が成り立つため、(a_{N+1} + ... + a_n)/n は α に近づきます。

したがって、(a_1 + … + a_n)/n = (前半) + (後半) → 0 + α = α

よって、数列 a_n が α に収束するなら、平均値も α に収束します。

数列の極限が α であれば、初めの有限項の影響は大きな n では無視でき、残りの項は α に近づくため、平均値も α に収束します。これは極限の性質を使ったシンプルな証明です。