曲線上の2点(0,y(0))と(x,y(x))の間の弧の長さが与えられている場合、曲線の方程式を求めるには、弧の長さ公式を用いて微分方程式を立てます。
弧の長さ公式の適用
平面曲線 y=y(x) の弧の長さ L(x) は次の公式で表されます。
L(x)=∫_0^x √(1+(y’)^2) dx
ここで y’ = dy/dx です。与えられた弧の長さは L(x)=log(secx + tanx) です。
微分して曲線の導関係を求める
両辺を x で微分すると。
√(1+(y’)^2) = d/dx [log(secx + tanx)] = secx
したがって、
1+(y’)^2 = sec^2 x
y’^2 = sec^2 x – 1 = tan^2 x
よって y’ = ±tanx となります。
曲線の方程式を求める
微分方程式 y’ = tanx を積分すると。
y = ∫ tanx dx = -log|cosx| + C
初期条件 y(0)=y_0 から、C = y_0 となり、
y(x) = -log(cosx) + y_0
となります。負号を考慮する場合は ±tanx に応じて符号を選びます。
まとめ
弧の長さが log(secx + tanx) で与えられた曲線は、y(x) = -log(cosx) + y_0 という関数で表されます。弧の長さ公式を微分して微分方程式を立てることで、曲線の方程式を求めることができます。
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