数列の等比和と式変形の解説：S-1/3SやS-(1-x)Sの具体例

数列の問題で等比数列の和を使う場合、式変形でつまずくことがあります。本記事では、S-1/3SやS-(1-x)Sを用いた計算手順と解答例を具体的に解説します。

（1）の問題：S-1/3Sの計算

まず、与えられた数列の和Sを求め、S-1/3Sの形に変形します。ここで重要なのは、等比数列の和の公式を正確に適用することです。

等比数列の和の公式は、初項a、公比r、項数nの場合。

S_n = a(1-r^n)/(1-r)

この公式を使ってSを求め、S-1/3Sの差分を計算すると、分子・分母を整理して最終的に答えの形に変形できます。

結果は以下の通りです。

9/4 – 2n + (3/4)・3^(n-1)

次にS-(1-x)Sの計算です。ここでも等比数列の和の公式を用いますが、x=1の場合とx≠1の場合で場合分けが必要です。

式を展開すると。

S-(1-x)S = 1 + 2x – ((3n+1)x^n + (3n-2)x^(n+1))/(1-x)^2

x=1のときは、極限を考慮して。

n/2(3n-1)

となります。

数列の式変形で迷う場合、まず公式を正しく適用し、分母・分子の整理を丁寧に行うことが重要です。また、特殊な値（x=1など）の場合は、極限を使って処理することで正しい答えに導けます。