高校数学の極限問題で、lim[n→∞]([e n!]/n!) を求める問題があります。ここでは、整数部分の性質を使って丁寧に解説します。
整数部分を含む極限の考え方
まず、与えられた式は [e n!]/n! です。ここで [x] は x の整数部分を意味します。整数部分の性質として、次が成り立ちます。
x – 1 < [x] ≤ x
式に当てはめる
これを [e n!] に適用します。
e n! – 1 < [e n!] ≤ e n!
両辺を n! で割ります。
(e n! – 1)/n! < [e n!]/n! ≤ e n!/n!
右辺と左辺を整理します。
e n!/n! – 1/n! < [e n!]/n! ≤ e n!/n!
極限を考える
ここで n → ∞ のとき、1/n! → 0 となります。
また、e n!/n! = Σ_{k=0}^{∞} 1/k! * n!/n! となりますが、整数部分を含むので、極限では小数分は無視でき、
lim[n→∞] [e n!]/n! = e
まとめ
したがって、求める極限は e です。ポイントは整数部分の性質と、1/n! が無限大で消えることを利用することです。
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