x^4-3x^2+1 の因数分解と平方根を含む解の扱い方

x^4-3x^2+1 の因数分解を考えるとき、√5を使った (x²+√5x+1)(x²-√5x+1) の形はどうか、という疑問が出ます。本記事では、このような因数分解の妥当性や、整数・有理数係数での扱い方について解説します。

整数・有理数係数での因数分解のルール

高校数学では、因数分解は通常、整数または有理数係数の多項式を対象とします。そのため、係数に無理数（√5など）が含まれる因数分解は、高校数学の範囲では正規の因数分解とはみなされません。

例として、x^4-3x^2+1 を整数係数で因数分解すると、二次式の組み合わせで表す必要があります。

この式を y = x² と置くと、y² – 3y + 1 という二次式になります。二次方程式の解の公式を使うと、解は y = (3±√5)/2 です。

したがって、x^4-3x^2+1 = (x² – (3+√5)/2)(x² – (3-√5)/2) と因数分解できますが、この係数は有理数ではなく無理数です。

質問にある (x²+√5x+1)(x²-√5x+1) を展開すると、x^4 – 5x² + 1 となり、元の式 x^4-3x^2+1 とは一致しません。このため、この形は誤りです。

重要なのは、展開して元の式に戻るかどうかを確認することです。√5を含む場合でも、展開結果が一致する必要があります。

無理数を使って因数分解する場合は、解の公式や平方完成を使って正確な係数を求めることが基本です。また、係数が整数や有理数で表せるかどうかを確認することも重要です。

この手法により、整数・有理数係数で表せない場合でも正しい無理数係数での因数分解を示すことができます。

x^4-3x^2+1 の因数分解で (x²+√5x+1)(x²-√5x+1) は誤りです。正しい無理数係数の因数分解は (x² – (3+√5)/2)(x² – (3-√5)/2) となります。

因数分解を行う際は、展開して元の式に戻るか確認し、整数・有理数係数か無理数係数かの条件を意識することが大切です。