今回は、与えられた関数y = 3cosx + √3sinxの最大値と最小値を求める方法について解説します。この問題では、xの範囲が0 ≦ x ≦ πの中で、関数の値がどのように変化するかを考えます。
問題の整理
まず、与えられた関数y = 3cosx + √3sinxを簡略化してみましょう。次のように変形します。
y = 2√3sin(x + π/3)これにより、問題はsin(x + π/3)の最大値と最小値を求めることに変わります。
sin(x + π/3)の範囲
次に、sin(x + π/3)の範囲を求めます。xの範囲が0 ≦ x ≦ πなので、x + π/3の範囲はπ/3 ≦ x + π/3 ≦ 4π/3となります。
したがって、sin(x + π/3)の値は-√3/2 ≦ sin(x + π/3) ≦ 1となります。このとき、最小値と最大値をそれぞれ求めると、yの範囲は-3 ≦ y ≦ 2√3となります。
最大値と最小値を求める
次に、yの最大値と最小値を求めます。
y = 2√3sin(x + π/3)の最大値は、sin(x + π/3) = 1のときに達成され、x + π/3 = π/2、したがってx = π/6のときです。
一方、yの最小値は、sin(x + π/3) = -√3/2のときに達成され、x + π/3 = 4π/3、したがってx = πのときです。
質問の疑問について
質問の中で「x + π/3 = π/2とx + π/3 = 4π/3になる理由がわからない」という部分があります。この部分は、sin(x + π/3)が最大値や最小値を取る点を示しているだけです。具体的には、sin(x + π/3)が最大となるのはx + π/3 = π/2のとき、最小となるのはx + π/3 = 4π/3のときです。
まとめ
今回の問題では、関数y = 3cosx + √3sinxを簡単に変形し、sin(x + π/3)の最大値と最小値を求めました。そして、xの値がどの範囲で最小値と最大値を取るのかを求めることができました。これにより、xの値とyの最大値、最小値を明確にすることができました。
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