中学受験でよく出題される整数問題のひとつに、最大公約数（GCD）と最小公倍数（LCM）から未知の整数を求める問題があります。この記事では、28と70と未知の整数Aについて、GCDが14、LCMが560となる整数Aを求める方法をわかりやすく解説します。
問題の整理と条件の確認
まず、与えられた条件を整理します。整数28、70、Aについて。
- 最大公約数：GCD(28,70,A) = 14
- 最小公倍数：LCM(28,70,A) = 560
整数Aを求めるには、まず28と70のGCDとLCMを確認し、Aとの関係を考えます。
28と70の素因数分解
素因数分解を行うと。
- 28 = 2^2 × 7
- 70 = 2 × 5 × 7
28と70のGCDは2 × 7 = 14、LCMは2^2 × 5 × 7 = 140です。ここで、Aを加えたときのGCDとLCMがそれぞれ14と560になる条件を考えます。
GCDとLCMの関係を使う
GCDとLCMの関係から、Aの素因数はGCD(28,70,A)=14を満たすように、少なくとも2と7を含む必要があります。また、LCM(28,70,A)=560=2^4 × 5 × 7となるように、Aの素因数は2の指数を最大4、5を含む場合もあり、7は1だけ含まれる必要があります。
候補の整数Aを求める
条件を満たす整数Aを列挙すると。
- A = 112 = 2^4 × 7
- A = 560 = 2^4 × 5 × 7
この2つの整数がGCD=14、LCM=560を満たす整数です。
解法のステップまとめ
1. 与えられた整数の素因数分解を行う
2. GCD条件からAが必ず含む素因数を確認
3. LCM条件からAの素因数の指数の上限を確認
4. 条件を満たす整数を列挙して確認
この方法を使えば、漏れなく全ての整数Aを求めることができます。
まとめ
最大公約数と最小公倍数を使った整数問題は、素因数分解とGCD・LCMの性質を理解することで解けます。具体的には、GCD条件で必ず含む素因数を決め、LCM条件で指数の上限を決めることで、A = 112とA = 560という解を漏れなく導くことができます。
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