ε-δ論法を用いてlim x→2 (x² + 2x - 7) = 1を証明する方法

ε-δ論法は、極限の定義を使って関数の極限値を厳密に証明する方法です。この記事では、lim x→2 (x² + 2x – 7) = 1 をε-δ論法を使ってどのように証明するかをわかりやすく解説します。

ε-δ論法とは？

ε-δ論法は、関数の極限を定義する際に使用される数学的な手法です。この方法では、あるε（任意の正の値）に対して、対応するδを見つけることによって極限の定義を証明します。簡単に言うと、「xがある値に近づくとき、その関数の値がどれだけ近づくか」を示す方法です。

この問題では、xが2に近づくとき、関数 x² + 2x – 7 の値が1に近づくことを証明します。まず、この関数を簡単に見てみましょう。

f(x) = x² + 2x – 7 です。x = 2 のとき、f(2) = 2² + 2(2) – 7 = 1 となります。したがって、極限値は1であると予想されます。

ε-δ論法に基づいて、この極限を証明するためには、任意のε > 0 に対して、δ > 0 を見つける必要があります。具体的には、|x – 2| < δ ならば、|f(x) - 1| < ε となるようなδを求めます。

まず、関数f(x)と1の差を計算します。

|f(x) – 1| = |(x² + 2x – 7) – 1| = |x² + 2x – 8| = |(x – 2)(x + 4)|

次に、|f(x) – 1| < ε となるように、|x - 2| < δ を満たすδを見つけます。

|f(x) – 1| = |(x – 2)(x + 4)| と求めたので、ここから x + 4 の部分を制限する必要があります。xが2に近づくとき、x + 4 は 6に近づきます。したがって、|x + 4| < 7 と仮定して、|f(x) - 1| を次のように上限できます。

|f(x) – 1| = |x – 2| |x + 4| < 7|x - 2|

したがって、|f(x) – 1| < ε となるためには、|x - 2| < ε / 7 とすれば良いです。したがって、δ = ε / 7 と選ぶことで、|x - 2| < δ ならば、|f(x) - 1| < ε を満たすことが確認できます。

以上のように、ε-δ論法を用いて、lim x→2 (x² + 2x – 7) = 1 を証明しました。この方法を使うことで、極限の定義を厳密に証明することができ、数学的な理解を深めることができます。