無限等比数列の収束範囲とその和の求め方

無限等比数列は、初項と公比が定まる数列であり、収束する条件とその和を求める方法は非常に重要です。この記事では、与えられた無限等比数列の収束条件と、その和の計算方法を解説します。

無限等比数列の一般的な形式

無限等比数列は、初項 a と公比 r の数列です。一般的な無限等比数列の和は、次の式で表されます。

S = a / (1 – r)（|r| < 1 の場合）

ここで、a は初項、r は公比です。この公式を使って、数列が収束する条件や、その和を求めることができます。

問題の式と収束条件

問題では、次の無限等比数列が与えられています。

x + x(x-2) + x(x-2)² + …

この数列の初項は x、そして公比は (x – 2) です。無限等比数列が収束するための条件は、|r| < 1 でなければなりません。この場合、公比 r = (x - 2) なので、次の条件が必要です。

|x – 2| < 1

したがって、1 < x < 3 の範囲で収束することが分かります。

収束時の和の求め方

無限等比数列が収束する範囲で、その和を求めるために、次の公式を使います。

S = x / (3 – x)（1 < x < 3 の場合）

ここで、x は初項、(x – 2) は公比です。したがって、この範囲内での収束する和は、上記の式で計算できます。

まとめと解説

無限等比数列の収束条件は、|r| < 1 である必要があり、今回の問題ではその範囲は 1 < x < 3 です。この条件下での和は、x / (3 - x) という式で求められます。問題の解法は、この基本的な理解に基づいています。無限等比数列の収束を求める際には、公比が1未満の絶対値であることを確認することが重要です。