高1数学の不等式 | |x+2| > 3x の解き方とx + 2 < 0の解説

数学の不等式を解く際に、絶対値を含む式は少し複雑に感じるかもしれません。特に、「|x+2| > 3x」の不等式を解く問題では、場合分けが必要です。この記事では、この不等式の解き方と、特に「x + 2 < 0」の場合の解説をわかりやすく説明します。

絶対値の不等式を解く方法

絶対値を含む不等式「|x+2| > 3x」を解くためには、絶対値の定義に基づいて場合分けを行います。絶対値の定義は、式の中身が0以上ならそのまま、0未満なら符号を反転させて解くというものです。

まず、絶対値を含む不等式「|x+2| > 3x」の場合、x + 2が正か負かによって2通りに分けることができます。

最初に「x + 2 ≥ 0」の場合を考えます。この場合、絶対値の中身はそのまま使えるため、式は次のようになります。

「x + 2 > 3x」となり、xについて解くと「2 > 2x」という不等式が得られます。これを解くと、「x < 1」という条件が得られます。

次に「x + 2 < 0」の場合を考えます。この場合、絶対値を外す際に符号が反転します。つまり、式は次のように変わります。

「-(x + 2) > 3x」となり、これを展開すると「-x – 2 > 3x」となります。この不等式を解くと、「-2 > 4x」となり、最終的に「x < -1/2」となります。

このように、2つの条件から得られた解は「x < 1」と「x < -1/2」です。しかし、重要なのは、最初の条件「x + 2 ≥ 0」も考慮する必要がある点です。

最終的に、この不等式を満たすxの範囲は「x < -1/2」と「x ≥ -2」となります。

「|x + 2| > 3x」の不等式を解くには、絶対値の定義に基づいて場合分けを行うことが必要です。解の範囲をきちんと整理することで、正しい解を得ることができます。この手法を理解することで、他の絶対値を含む不等式の解法にも応用できます。