3次方程式の解法: 与えられた解から定数a, bを求める方法

この問題では、3次方程式x^3 + ax^2 + x + b = 0の解について、2つの解が-1と2であることが与えられています。残りの解と定数a、bを求めるための手順を解説します。また、解の割り算についての理解も深めていきます。

問題の整理

与えられた方程式はx^3 + ax^2 + x + b = 0です。そして、2つの解が-1と2であることが分かっています。この時、残りの解を求めるためには、まず方程式の因数分解を考えます。

したがって、x + 1とx – 2はこの方程式の因数であることがわかります。なぜなら、解が-1と2であるとき、これらの因数は方程式に割り切れるためです。

方程式x^3 + ax^2 + x + b = 0を(x + 1)(x – 2)(x – r)という形に因数分解できます。ここでrは残りの解です。

このように因数分解をした後、展開を行うことで定数a、b、およびrを求めることができます。まず、(x + 1)(x – 2)を展開し、その後に(x – r)を掛け算します。

まず、(x + 1)(x – 2)を展開すると、次のようになります。

(x + 1)(x – 2) = x^2 – x – 2

これを(x – r)と掛け算して、元の式に戻るように計算します。すると、x^3 + ax^2 + x + bの形が得られ、そこからaとbの値を求めることができます。

「(x + 1)」と「(x – 2)」が方程式に割り切れる理由は、それぞれが方程式の解に対応する因数だからです。解が-1のとき、x + 1は0になり、同様に解が2のとき、x – 2が0になります。これにより、x + 1とx – 2が方程式を割り切ることが分かります。

また、解の合成であるため、(x + 1)と(x – 2)の積も方程式を割り切るのです。このように、因数分解を使うことで、方程式の解を効率的に求めることができます。

この問題では、3次方程式x^3 + ax^2 + x + b = 0において、2つの解が-1と2であることから、因数分解を利用して残りの解を求めました。また、解が与える因数の意味を理解し、なぜ(x + 1)と(x – 2)が掛け算でも割り切れるのかについても解説しました。