√2が無理数であることの証明とその矛盾について

√2が無理数であることは、よく使われる基本的な証明問題の一つです。この記事では、その証明方法について解説し、特に「2 = b²/a²」という形からどのように矛盾を導くのかについて詳しく説明します。

無理数とは？

無理数とは、分数の形で表せない実数のことです。√2はその典型的な例であり、整数の比として表現することができません。これを証明するためには、矛盾を利用した証明方法（背理法）を使うことが一般的です。

背理法では、√2が有理数（分数の形で表せる数）だと仮定し、その仮定から矛盾を導き出すことで、√2は無理数であると結論します。

√2が無理数であることを証明するために、まずその逆の仮定をします。つまり、√2が有理数であると仮定し、それを分数の形で表せるとしましょう。

仮定として、√2 = b/a とします。ここで、b と a は互いに素な整数、すなわち b/a は既約分数であるとします。この仮定から出発して証明を進めます。

次に、√2 = b/a の両辺を2乗します。

2 = (b² / a²)

これから、次の式が得られます。

b² / a² = 2

この式を整理すると、次のように表せます。

b² = 2a²

つまり、b²は2の倍数であることがわかります。ここで重要なのは、2の倍数であるb²は、b自体も2の倍数である必要があるという点です。なぜなら、整数の二乗が2の倍数であれば、その整数自体も2の倍数でなければならないからです。

bが2の倍数であるならば、b = 2k（kは整数）と置き換えることができます。この式を先ほどの b² = 2a² に代入すると、次のようになります。

(2k)² = 2a²

これを展開すると。

4k² = 2a²

両辺を2で割ると。

2k² = a²

この式から、a²も2の倍数であることがわかります。同様に、aも2の倍数である必要があります。

ここで、重要なのは、bとaの両方が2の倍数であるという結論です。しかし、最初に仮定した通り、b/aは既約分数であり、bとaは互いに素でなければなりません。つまり、bとaの両方が2の倍数であれば、b/aは既約分数ではなくなります。この点が矛盾しているため、最初の仮定が誤りであると結論できます。

したがって、√2は有理数ではなく無理数であると証明されます。

√2が無理数であることを証明するためには、背理法を使い、√2が有理数であると仮定して矛盾を導く方法が有効です。今回の証明では、bとaが共に2の倍数であることから、最初の仮定が矛盾することを示しました。このような証明方法を理解しておくと、無理数に関する問題を解く際に役立ちます。