この問題は、変数xと定数a（aは1でない正の定数）を含む不等式を解く問題です。この記事では、不等式
不等式の整理と変形
まず、不等式を整理します。与えられた不等式は以下の形です。
a^2x + 6a^-x > 7
この不等式を解くためには、まずそれぞれの項を簡単にして、より解きやすい形に持ち込みます。aのべき乗が含まれているので、この部分を扱うために適切な方法を考えます。
新しい変数を導入する
この不等式を解くために、xに新しい変数を導入すると便利です。例えば、t = a^x とおくことで、不等式が簡単になります。これにより、a^xとa^-xがaの関数として表現できるようになります。
変数tを導入した場合、a^2x はt^2、6a^-xは6/tになります。これを元の不等式に代入すると、次のようになります。
t^2 + 6/t > 7
不等式の解法
次に、この新しい不等式t^2 + 6/t > 7を解いていきます。まずは両辺にtを掛けて、分母をなくします。
t^3 + 6 > 7t
次に、すべての項を左辺に移動させ、整理します。
t^3 – 7t + 6 > 0
解の求め方
この立式ができたら、次にこの三次方程式を解く方法に移ります。まずは解の候補を見つけるために因数分解を試みます。この三次方程式は因数分解が可能で、解は次のようになります。
(t – 1)(t^2 + t – 6) > 0
さらにt^2 + t – 6を因数分解すると。
(t – 1)(t – 2)(t + 3) > 0
ここで不等式を解くために、数直線を使って解の範囲を求めます。
解の範囲
不等式(t – 1)(t – 2)(t + 3) > 0の解を求めるために、数直線を使って解の範囲を考えます。これにより、tが取るべき値の範囲を決定します。最終的に、t > 2 の場合に解が得られることがわかります。
t = a^x としていたので、t > 2 から a^x > 2 という式が得られます。これを解くと、x > log_a 2 という条件が得られます。
まとめ
不等式 a^2x + 6a^-x > 7 を解く方法として、まずは新しい変数tを導入し、その後の三次方程式を解くことが重要です。最終的に得られる解は x > log_a 2 という形になります。これにより、不等式の解を求めることができました。
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