微分の計算において、特に極値の判定に関する問題は、学生にとって難易度が高く感じることがあります。特に、f'(x)の符号の変化や、f”(x)を使った判定方法について理解が深まらない場合があります。この記事では、微分を用いて極値を求める方法、特にf'(x)の符号とf”(x)をどう使うかについて解説します。
1. 微分の基本：f'(x)とf”(x)の役割
まず、極値を求めるために必要な微分の基本的な知識をおさらいしましょう。関数f(x)の微分f'(x)は、関数の増減を示します。f'(x)が0になる点では、関数が増加から減少に変わる（またはその逆）可能性があります。これを極値候補の点として考えます。
次に、二階導関数f”(x)は、f'(x)の増減を調べるために使います。f”(x)が正ならf'(x)は増加しており、負ならf'(x)は減少しています。f”(x)を使って、極値の性質（最大値か最小値か）を判断します。
2. 実際の問題：f(x) = (1 + cosx)sinxの極値を求める
問題：「f(x) = (1 + cosx)sinx」の極値を第二次導関数を使って求めなさいという問題があります。この問題では、まずf'(x)を求め、次にf'(x)が0になる点を探し、その後f”(x)を使って極値の性質を判定します。
まず、f'(x)を求めると、次のようになります。
f'(x) = -sinx(4cosx + 1)
次に、f'(x)が0になる点を求めると、x = π/3, π, 5π/3 となります。
3. 二階導関数f”(x)を使った極値判定
次に、f”(x)を求めます。f”(x)はf'(x)の微分です。具体的に計算すると。
f”(x) = -cosx(4cosx + 5)
次に、f”(x)を各極値候補で評価します。x = π/3, π, 5π/3 についてそれぞれf”(x)の値を求め、極値の性質を調べます。
例えば、x = π/3の場合。
f”(π/3) = -3√3 < 0
この場合、f”(π/3)が負なので、x = π/3は極大値を取る点です。
次に、x = πの場合。
f”(π) = 0
f”(π)が0なので、この点は変曲点の可能性があります。
最後に、x = 5π/3の場合。
f”(5π/3) > 0
f”(5π/3)が正なので、x = 5π/3は極小値を取る点です。
4. f'(x)の符号から極値を判断する方法
問題文にあった「x = πの前後ではf'(x)の符号は負であるからx = πは極値を取らない」という部分について説明します。
f'(x)が0であるx = πの周辺で、f'(x)がどのような符号を持つかを確認することが重要です。具体的には、f'(x)の符号が負であれば、x = πの周りで関数は減少しており、x = πで極値は存在しないことがわかります。
実際に、f'(x) = -sinx(4cosx + 1)を使って、x = πの前後でf'(x)が負であることを確認することで、x = πでは極値がないと結論できます。
5. まとめ：微分を使った極値判定の重要ポイント
微分を使った極値判定では、f'(x)が0になる点を見つけ、f”(x)を使ってその点が極大値、極小値、または変曲点かを判断することが重要です。また、f'(x)の符号を調べることで、極値が存在するかどうかも確認できます。
このように、微分を使った極値判定は計算の手順に従って進めることで確実に解くことができます。焦らずに一つずつ解いていくことが大切です。
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