方程式 5p^2 + 5 = k^2 の解法と(p, k)の組みについて

与えられた方程式 5p^2 + 5 = k^2 において、p と k は自然数とされています。この方程式が満たす (p, k) の組みが (2, 5) しかないことを示す方法について詳しく解説します。

方程式の基本的な整理

まず、与えられた方程式 5p^2 + 5 = k^2 を整理してみましょう。これは、左辺が p に関する二次式であり、右辺が k の二乗となっています。まずは左辺の因数分解を考えます。

5p^2 + 5 = 5(p^2 + 1) と書き換えられるため、方程式は次のようになります。

5(p^2 + 1) = k^2

この式が成り立つためには、k^2 は 5 の倍数である必要があります。したがって、k は 5 の倍数でなければならず、k = 5m とおきます（m は整数）。

このとき、式は次のように書き換えられます。

5(p^2 + 1) = (5m)^2

これをさらに整理すると。

p^2 + 1 = 5m^2

p^2 + 1 = 5m^2 という方程式を解くために、m の値について検討します。m が小さい整数である場合にこの式を満たす p の値が存在するかを調べていきます。

まず m = 1 の場合を考えます。

p^2 + 1 = 5(1)^2 = 5

p^2 = 4 となり、p = 2 が得られます。

次に m = 2 の場合。

p^2 + 1 = 5(2)^2 = 20

p^2 = 19 となり、p は自然数ではありません。

さらに m = 3 以降の値に対しても同様に検討を行いますが、p が自然数になることはありません。

以上の検討から、p = 2 のときに k = 5 となり、(p, k) = (2, 5) が唯一の解であることがわかります。これが与えられた方程式 5p^2 + 5 = k^2 を満たす (p, k) の組であり、それ以外には自然数の解は存在しないことが示されました。

方程式 5p^2 + 5 = k^2 の解として、(p, k) = (2, 5) が唯一の解であることが示されました。検討を通じて、他の整数の組み合わせでは解が得られないことが確認されました。このような方法で数学的な問題を解く過程が理解できると、さらなる問題にも対応できるようになります。