大学数学

等差数列の要素をランダムに並べ替えた場合、最大値と最小値の期待値が定まるかどうかを求める問題です。この問題では、数列の要素数が100の等差数列の並べ替えに関する期待値を考えます。問題の設定与えられたのは、初項が6、公差が実数dの等差数列で、...

行列のCR分解は、行列を特定の形式に分解することで、元の行列の構造をより簡単に理解する方法の一つです。この記事では、行間約階段形を使って行列の係数を求める理由と、そのプロセスについて解説します。行列のCR分解とは行列のCR分解とは、行列を2...

アキレスと亀のパラドックスは、空間が連続であるという前提において、アキレスが亀を追い越すことができないという逆説的な命題です。この問題を解決するためには、無限級数の収束を理解し、空間と速度の定義に関する深い洞察が必要です。1. アキレスと亀...

この問題では、ωを1の原始三乗根とし、a、b、cを正の整数としたときに、|a-bω|, |b-cω|, |c-aω|が整数である場合に、|a+c+(b+c)ω|が無理数であることを証明する問題です。このような問題を解くためには、まずωが1の...

行列の固有値と固有ベクトルを求める問題は、線形代数における基本的な課題です。特に、固有ベクトルに関しては定数倍がある場合が多いため、理解を深めることが重要です。この記事では、与えられた2×2行列に対する固有値と固有ベクトルの求め方と、定数倍...

コラッツ予想は、数論の未解決問題の1つとして広く知られています。この記事では、コラッツ予想を直接証明するための次元自然数体系 N^d（N^1からN^3）を使用した新しいアプローチについて解説します。特に、帰納的・間接的な証明（ISP）から、...

積分に関する質問で「積分 x dx の解はないのか？」という疑問が出ることがあります。この問題は、無限区間での積分がどのように扱われるかに関係しています。今回はその解答とその背景について詳しく説明します。1. 積分の基本的な定義積分とは、あ...

今回は、n次元ユークリッド空間における合同な球による充填について考えます。特に、最密充填率がn→+∞で1になる可能性があるのかどうかについて解説します。最密充填とは最密充填とは、与えられた空間において、可能な限り多くの球を重ならないように配...

トマエ関数に関する質問に答えるため、まずトマエ関数とは何か、そしてガウスぼかしがその性質に与える影響について説明します。トマエ関数をガウスぼかしでスムージングする際、その性質がどのように変化するのかを理解するためには、数学的な背景とその結果...

微分方程式 (1+x^2)y'' + 1 + y'^2 = 0 を解く方法について解説します。この方程式は、非線形の2階微分方程式であり、解法にはいくつかのアプローチがあります。本記事では、この問題を順を追って解く方法を説明します。問題の整...